Calcul d’une différence de marche
Calculez rapidement la différence de marche, l’ordre d’interférence, le déphasage et la nature de la frange observée dans une expérience d’interférences lumineuses. L’outil ci dessous convient aux exercices classiques de Terminale et aux révisions du bac.
Calculateur interactif
Guide expert : calcul d’une différence de marche en Terminale S
Le calcul d’une différence de marche fait partie des compétences classiques attendues dans les chapitres sur les interférences, les ondes et l’optique. Même si l’expression semble technique, l’idée physique reste simple : on compare les distances parcourues par deux ondes pour savoir si elles arrivent en phase ou en opposition en un point donné. En Terminale, cette notion permet d’expliquer l’apparition de franges brillantes et sombres, notamment dans l’expérience des fentes d’Young.
Définition simple de la différence de marche
On appelle différence de marche la différence entre les longueurs des deux trajets suivis par deux ondes qui se recombinent en un point M. On la note le plus souvent δ. Si une onde parcourt le trajet S1M et l’autre le trajet S2M, on écrit :
δ = S2M – S1M
Dans certains exercices, on demande la valeur absolue, soit |δ|, parce que seule l’importance de l’écart de trajet compte. Dans d’autres, le signe est conservé pour raisonner plus finement sur la position des franges ou sur la convention du schéma. Les deux approches sont valables, à condition de respecter la convention choisie.
Pourquoi la différence de marche est-elle si importante ?
Deux ondes de même fréquence n’interfèrent pas de la même façon selon l’écart de chemin qu’elles ont parcouru. Si cet écart correspond à un nombre entier de longueurs d’onde, elles se retrouvent en phase et s’ajoutent fortement : on obtient une interférence constructive. Si cet écart correspond à un demi entier de longueurs d’onde, elles arrivent en opposition de phase : l’intensité observée diminue fortement et peut s’annuler dans le cas idéal. C’est la destruction ou interférence destructive.
- Constructive : δ = kλ, avec k entier.
- Destructive : δ = (k + 1/2)λ, avec k entier.
- Déphasage associé : φ = 2πδ / λ.
Les deux situations les plus fréquentes en exercice
Au lycée, on rencontre surtout deux types de calcul.
- Calcul direct à partir de deux distances : on connaît S1M et S2M, on soustrait simplement les deux longueurs.
- Calcul géométrique dans les interférences de Young : on utilise une relation approchée comme δ = d sin(θ), voire δ ≈ dθ pour les petits angles exprimés en radians.
Le calculateur présenté plus haut traite ces deux cas de figure. Il fournit non seulement la valeur de δ, mais aussi l’ordre d’interférence et la nature probable de la frange observée.
Méthode 1 : calculer δ à partir des trajets S1M et S2M
Cette méthode est la plus directe. Si l’énoncé donne les longueurs de trajet, il suffit d’écrire :
δ = S2M – S1M
Exemple : si S1M = 1,250000 m et S2M = 1,250020 m, alors :
δ = 0,000020 m = 2,0 × 10-5 m = 20 µm
Ensuite, si la longueur d’onde est λ = 633 nm, on convertit :
λ = 633 × 10-9 m = 6,33 × 10-7 m
L’ordre d’interférence vaut alors :
m = δ / λ ≈ 31,6
Comme 31,6 n’est ni un entier ni un demi entier exact, le point M n’est ni sur un maximum idéal ni sur un minimum idéal. C’est exactement ce type d’analyse que les correcteurs attendent : vous ne devez pas seulement calculer δ, mais aussi interpréter physiquement le résultat.
Méthode 2 : calculer δ avec la géométrie des fentes d’Young
Dans les expériences d’interférences lumineuses, les deux sources secondaires cohérentes sont séparées d’une distance d. Pour un point observé sous l’angle θ, on utilise :
δ = d sin(θ)
Si l’angle est petit, ce qui est très fréquent dans les exercices de Terminale, on peut écrire :
sin(θ) ≈ θ si θ est en radians.
D’où l’approximation :
δ ≈ dθ
Cette relation est particulièrement utile lorsqu’on veut relier la position d’une frange sur l’écran à l’angle d’observation ou à la distance écran fentes. Il faut cependant bien vérifier que l’angle est suffisamment faible et que l’énoncé autorise cette approximation.
Attention absolue aux conversions
La très grande majorité des erreurs de calcul sur la différence de marche vient d’un problème d’unités. En optique, les longueurs d’onde sont souvent données en nanomètres, l’écartement des fentes en millimètres, et les distances géométriques en mètres. Il faut tout convertir avant de calculer.
- 633 nm = 6,33 × 10-7 m
- 0,50 mm = 5,0 × 10-4 m
- 20 µm = 2,0 × 10-5 m
Un élève qui connaît parfaitement les formules mais oublie de convertir les unités peut obtenir un résultat faux de plusieurs ordres de grandeur. En devoir surveillé comme au bac, c’est souvent ce qui fait perdre des points.
Comment interpréter physiquement le résultat
Le calcul de δ n’est pas un but en soi. Il sert à prévoir l’intensité observée en M. Dès que vous avez la différence de marche, vous pouvez la comparer à λ.
- Si δ est très proche de 0, les ondes arrivent pratiquement ensemble : le point est proche d’un maximum central.
- Si δ = λ, 2λ, 3λ…, vous avez une frange brillante.
- Si δ = λ/2, 3λ/2, 5λ/2…, vous avez une frange sombre dans le modèle idéal.
- Si δ / λ n’est pas un nombre remarquable, l’intensité est intermédiaire.
Le déphasage donne une lecture complémentaire. La formule φ = 2πδ / λ permet de traduire un écart de trajet en angle de phase. Par exemple, si δ = λ/2, alors φ = π rad. Les deux ondes sont en opposition de phase.
Tableau comparatif des longueurs d’onde visibles
Le tableau suivant rassemble des valeurs typiques du domaine visible souvent utilisées dans les exercices d’optique. Ces intervalles sont cohérents avec les références éducatives et institutionnelles couramment admises.
| Couleur | Intervalle de longueur d’onde | Valeur typique utilisée en exercice | Conséquence sur les interférences |
|---|---|---|---|
| Violet | 380 à 450 nm | 405 nm | Franges plus resserrées qu’en rouge |
| Bleu | 450 à 495 nm | 470 nm | Interfrange modéré |
| Vert | 495 à 570 nm | 532 nm | Très fréquent pour les lasers pédagogiques |
| Jaune | 570 à 590 nm | 589 nm | Valeur classique avec les raies du sodium |
| Rouge | 620 à 750 nm | 633 nm | Franges plus espacées |
On remarque que plus la longueur d’onde est grande, plus une même différence de marche représente un petit nombre de longueurs d’onde. Inversement, pour une petite longueur d’onde, une variation de trajet donnée produit un déphasage plus important. C’est pour cette raison que les systèmes d’interférence sont très sensibles à la couleur de la lumière utilisée.
Exemple guidé complet de niveau Terminale
Considérons deux fentes séparées de d = 0,50 mm. On observe un point M sous un angle θ = 2,0 deg avec une lumière de longueur d’onde λ = 633 nm.
- Conversion de d : 0,50 mm = 5,0 × 10-4 m.
- Calcul de sin(2,0 deg) ≈ 0,0349.
- Différence de marche : δ = d sin(θ) ≈ 5,0 × 10-4 × 0,0349 = 1,745 × 10-5 m.
- Ordre : m = δ / λ ≈ 1,745 × 10-5 / 6,33 × 10-7 ≈ 27,6.
- Conclusion : le point M n’est pas sur un maximum ou minimum parfait, mais sur une zone d’intensité intermédiaire.
Dans un devoir, ce raisonnement mérite d’être rédigé clairement. Un bon calcul non interprété reste incomplet. Il faut toujours relier le résultat mathématique à la présence d’une frange brillante, sombre ou intermédiaire.
Tableau de comparaison : ordre, déphasage et type de frange
| Rapport δ / λ | Déphasage φ | Type d’interférence | Observation attendue |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 rad | Constructive | Maximum central |
| 1/2 | π rad | Destructive | Minimum idéal |
| 1 | 2π rad | Constructive | Frange brillante d’ordre 1 |
| 3/2 | 3π rad | Destructive | Frange sombre suivante |
| 2 | 4π rad | Constructive | Frange brillante d’ordre 2 |
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre la différence de marche avec la distance écran fentes.
- Utiliser les degrés dans une approximation nécessitant des radians.
- Oublier de convertir nanomètres et millimètres en mètres.
- Dire qu’une frange est brillante alors que δ correspond à un demi entier de λ.
- Arrondir trop tôt et perdre l’information sur l’ordre d’interférence.
Conseils pour réussir un exercice au bac
- Identifier immédiatement la grandeur cherchée : δ, φ, ordre, ou nature de la frange.
- Repérer si l’énoncé donne directement deux trajets ou s’il faut utiliser une relation géométrique.
- Faire les conversions d’unités avant toute application de formule.
- Écrire la formule littérale avant le calcul numérique.
- Donner l’unité finale et interpréter le résultat physiquement.
Liens vers des sources d’autorité
- MIT Physics : ressources universitaires en physique ondulatoire et optique.
- National Institute of Standards and Technology : données de référence sur les constantes et mesures physiques.
- University of Colorado PhET : simulations éducatives sur les ondes et les interférences.
En résumé
Le calcul d’une différence de marche en Terminale repose sur une idée simple mais puissante : deux ondes n’ont pas le même effet selon l’écart de trajet qu’elles ont parcouru. Cet écart, noté δ, permet de déterminer l’ordre d’interférence, le déphasage et l’intensité observée. Pour réussir, il faut maîtriser les formules de base, vérifier les unités, savoir utiliser l’approximation des petits angles et, surtout, interpréter le résultat. Avec un peu d’entraînement, cette notion devient l’un des chapitres les plus accessibles de l’optique ondulatoire.