10 tirages avec remise : calculer la probabilité de x = 4
Calculez instantanément la probabilité d’obtenir exactement 4 succès en 10 tirages avec remise grâce au modèle binomial, avec visualisation graphique de toute la distribution.
Calculateur de probabilité binomiale
Comprendre “10 tirages avec remise : calculer la probabilité de x = 4”
Lorsqu’on parle de 10 tirages avec remise, on se place dans un cadre probabiliste très classique : après chaque tirage, l’élément tiré est remis dans l’ensemble de départ. Cela change tout, car la composition de l’ensemble ne varie jamais d’un essai au suivant. En conséquence, chaque tirage conserve la même probabilité de succès, et les essais deviennent indépendants. C’est exactement la situation qui conduit à l’utilisation de la loi binomiale.
La question “calculer la probabilité de x = 4” signifie ici : quelle est la probabilité d’obtenir exactement 4 succès sur 10 essais, sachant que chaque essai a une probabilité constante p de réussir ? Le mot “succès” peut désigner plusieurs réalités selon le contexte : tirer une boule rouge, obtenir un 6 avec un dé, sélectionner une personne ayant une caractéristique donnée, ou réussir un test.
Pourquoi la remise est essentielle
Avec remise, chaque tirage repart des mêmes conditions initiales. Si vous tirez une boule rouge dans une urne puis la remettez, la proportion de boules rouges reste identique au tirage suivant. Cela implique deux propriétés fondamentales :
- Indépendance : le résultat du tirage précédent n’influence pas le suivant.
- Probabilité constante : la valeur de p ne change pas d’un essai à l’autre.
Sans remise, on basculerait plutôt vers un modèle hypergéométrique, car la composition de l’échantillon évoluerait au fil des tirages. Ici, comme il y a remise, la loi binomiale est le bon outil mathématique.
La formule exacte à appliquer
Pour 10 tirages avec remise et une probabilité de succès p à chaque tirage, la probabilité d’obtenir exactement x = 4 succès se calcule avec :
Le coefficient combinatoire C(10,4) représente le nombre de façons de placer 4 succès parmi 10 positions possibles. Sa valeur est :
La formule peut donc s’écrire plus explicitement :
Cette expression est à la fois simple et puissante. Elle permet de calculer très vite la probabilité dès lors que la valeur de p est connue.
Exemple pas à pas avec une probabilité de succès de 20 %
Supposons que la probabilité de succès sur chaque tirage soit p = 0,20. Nous voulons la probabilité d’obtenir exactement 4 succès sur 10 tirages :
- On identifie n = 10, x = 4, p = 0,20.
- On calcule le coefficient : C(10,4) = 210.
- On calcule p^4 = 0,20^4 = 0,0016.
- On calcule (1-p)^6 = 0,80^6 = 0,262144.
- On multiplie : 210 × 0,0016 × 0,262144 = 0,088080384.
Le résultat final est donc :
Autrement dit, si un événement a 20 % de chances de se produire à chaque tirage, obtenir exactement 4 succès en 10 tirages n’est pas l’issue la plus fréquente, mais elle reste tout à fait plausible.
Lecture intuitive du résultat
Beaucoup de personnes pensent à tort qu’avec une probabilité de 20 % et 10 essais, on “devrait” obtenir 2 succès. En réalité, on s’attend effectivement à une moyenne de n × p = 10 × 0,20 = 2 succès, mais cela ne signifie pas que 2 sera observé systématiquement. La loi binomiale répartit la probabilité entre plusieurs valeurs possibles : 0, 1, 2, 3, 4, etc. L’intérêt du calculateur ci-dessus est justement de montrer où se situe x = 4 dans toute cette distribution.
Tableau comparatif : probabilité d’obtenir exactement 4 succès selon p
Le tableau suivant illustre comment évolue P(X = 4) lorsque la probabilité individuelle de succès change, tout en gardant n = 10 et x = 4.
| Probabilité par tirage p | Formule | Probabilité décimale | Probabilité en % |
|---|---|---|---|
| 0,10 | 210 × 0,1^4 × 0,9^6 | 0,011160261 | 1,116 % |
| 0,20 | 210 × 0,2^4 × 0,8^6 | 0,088080384 | 8,808 % |
| 0,30 | 210 × 0,3^4 × 0,7^6 | 0,200120949 | 20,012 % |
| 0,40 | 210 × 0,4^4 × 0,6^6 | 0,250822656 | 25,082 % |
| 0,50 | 210 × 0,5^4 × 0,5^6 | 0,205078125 | 20,508 % |
On remarque un point intéressant : la probabilité d’obtenir exactement 4 succès augmente d’abord lorsque p augmente, puis redescend après une certaine zone. C’est logique, car pour obtenir précisément 4 succès, il faut que la probabilité individuelle de succès soit cohérente avec un total proche de 4 sur 10.
Statistiques utiles de la loi binomiale pour n = 10
Au-delà de la seule probabilité d’obtenir 4 succès, il est souvent utile d’étudier les indicateurs globaux de la loi binomiale. Ils aident à interpréter le contexte réel d’une expérience de tirages avec remise.
| Valeur de p | Espérance E(X) = np | Variance V(X) = np(1-p) | Écart-type | P(X = 4) |
|---|---|---|---|---|
| 0,20 | 2,0 | 1,6 | 1,2649 | 8,808 % |
| 0,30 | 3,0 | 2,1 | 1,4491 | 20,012 % |
| 0,40 | 4,0 | 2,4 | 1,5492 | 25,082 % |
| 0,60 | 6,0 | 2,4 | 1,5492 | 11,147 % |
Lorsque p = 0,40, l’espérance vaut exactement 4. Il est donc naturel que P(X = 4) soit particulièrement élevée. En revanche, quand p = 0,20, la moyenne vaut 2, ce qui rend 4 succès moins probables.
Applications concrètes
Le calcul “10 tirages avec remise, probabilité de x = 4” apparaît dans de nombreux domaines :
- Pédagogie : exercices de probabilités et d’introduction à la loi binomiale.
- Contrôle qualité : nombre de pièces conformes dans une série d’inspections indépendantes.
- Marketing : nombre de clics ou de réponses favorables dans un échantillon de 10 actions.
- Biostatistiques : nombre de succès thérapeutiques sur une petite série d’essais.
- Jeux de hasard : nombre de résultats favorables sur plusieurs lancers ou tirages indépendants.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre avec “au moins 4” : ici, on calcule exactement 4, pas 4 ou plus.
- Oublier la remise : sans remise, la formule binomiale ne s’applique pas en général.
- Mal saisir p : 20 % doit être entré comme 0,20 dans ce calculateur.
- Ignorer le coefficient combinatoire : il ne suffit pas de faire p^4 × (1-p)^6.
- Interpréter une moyenne comme une certitude : l’espérance n’est pas un résultat garanti.
Comment vérifier si le modèle binomial est bien adapté
Avant d’utiliser la formule, posez-vous quatre questions simples :
- Le nombre d’essais est-il fixé à l’avance ? Ici, oui : 10 tirages.
- Chaque essai possède-t-il seulement deux issues pertinentes : succès ou échec ?
- La probabilité de succès est-elle constante ? Avec remise, oui.
- Les essais sont-ils indépendants ? Avec remise, oui également.
Si ces conditions sont réunies, la loi binomiale est le cadre correct.
Ressources officielles pour approfondir
Pour consulter des références fiables sur les probabilités, les distributions discrètes et l’interprétation statistique, vous pouvez lire :
- NIST Engineering Statistics Handbook (.gov)
- LibreTexts Statistics, ressource universitaire (.edu)
- U.S. Census Bureau statistical guidance (.gov)
En résumé
Pour 10 tirages avec remise, calculer la probabilité de x = 4 revient à utiliser une loi binomiale de paramètres n = 10 et p. La formule générale est :
Le calculateur présent sur cette page automatise cette démarche, fournit un résultat en format décimal et en pourcentage, et affiche un graphique de l’ensemble de la distribution. C’est un excellent outil pour les étudiants, enseignants, analystes et toute personne souhaitant comprendre rapidement la logique des probabilités binomiales dans un cas simple mais fondamental.