1b calculer la loi de N³
Calculez instantanément la loi d’une variable transformée Y = N³ à partir d’une loi discrète de N, visualisez les probabilités et comprenez la méthode avec un guide expert complet.
Calculateur de la loi de Y = N³
Choisissez une loi discrète pour N, renseignez ses paramètres, puis cliquez sur le bouton pour obtenir la loi de Y = N³.
Les résultats apparaîtront ici avec la table des probabilités de Y = N³.
Guide expert: comment calculer la loi de N³ avec méthode, rigueur et intuition
Lorsqu’un exercice demande de calculer la loi de N³, il s’agit en général de déterminer la distribution de la variable aléatoire Y = N³ à partir de la loi connue d’une variable discrète N. Ce type de transformation apparaît très souvent en probabilités au lycée, à l’université, dans les classes préparatoires et dans les premiers cours de statistique. Le sujet semble parfois technique, alors qu’en réalité la logique de fond est simple: on part des valeurs possibles de N, on applique la transformation cube, puis on conserve les probabilités associées aux valeurs initiales.
Le point essentiel à retenir est le suivant: la fonction g(n) = n³ est strictement croissante sur les entiers. Cela signifie qu’elle ne fusionne pas plusieurs valeurs distinctes de N en une même valeur de Y. En pratique, cela simplifie énormément le calcul. Si N prend les valeurs 0, 1, 2, 3 avec certaines probabilités, alors Y = N³ prendra les valeurs 0, 1, 8, 27 avec exactement les mêmes probabilités, mais reportées sur les nouvelles valeurs.
Définition formelle de la loi de la variable transformée
Soit une variable aléatoire discrète N définie sur un support fini ou dénombrable. On pose:
Y = N³
Pour toute valeur possible k de N, on obtient:
P(Y = k³) = P(N = k)
Cette écriture est valide précisément parce que la transformation cube est injective sur les entiers. Si la transformation n’était pas injective, il faudrait additionner plusieurs probabilités. Ici, ce n’est pas nécessaire.
Méthode pas à pas pour ne jamais se tromper
- Écrire toutes les valeurs possibles de la variable N.
- Noter la probabilité associée à chacune de ces valeurs.
- Calculer le cube de chaque valeur: n devient n³.
- Construire une nouvelle table avec les valeurs de Y = N³.
- Reporter exactement les mêmes probabilités que dans la loi de N.
- Vérifier que la somme des probabilités vaut toujours 1.
Cette méthode est générale et fonctionne aussi bien pour une loi uniforme discrète, une loi binomiale, une loi de Poisson ou toute loi finie donnée sous forme de tableau.
Exemple simple: la loi uniforme sur un dé équilibré
Supposons que N représente le résultat d’un dé équilibré. Alors N prend les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6 avec une probabilité de 1/6 pour chacune. Si l’on définit Y = N³, les valeurs possibles de Y sont:
- 1³ = 1
- 2³ = 8
- 3³ = 27
- 4³ = 64
- 5³ = 125
- 6³ = 216
La loi de Y est donc:
| Valeur de N | P(N = n) | Valeur de Y = N³ | P(Y = n³) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0,1667 | 1 | 0,1667 |
| 2 | 0,1667 | 8 | 0,1667 |
| 3 | 0,1667 | 27 | 0,1667 |
| 4 | 0,1667 | 64 | 0,1667 |
| 5 | 0,1667 | 125 | 0,1667 |
| 6 | 0,1667 | 216 | 0,1667 |
Ce tableau est très instructif: la structure probabiliste ne change pas, mais l’échelle des valeurs explose. C’est précisément l’effet d’une transformation cubique. Les petites valeurs restent modestes, alors que les grandes valeurs augmentent très vite.
Exemple avec une loi binomiale
Prenons maintenant un exemple plus classique d’examen. Supposons que N suive une loi binomiale de paramètres n = 5 et p = 0,4. La variable N peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3, 4, 5. Les probabilités de la loi binomiale sont données par la formule:
P(N = k) = C(5, k) × 0,4^k × 0,6^(5-k)
En calculant Y = N³, on obtient les valeurs 0, 1, 8, 27, 64 et 125. Là encore, la loi de Y reprend les mêmes masses de probabilité que celle de N, simplement sur les nouvelles valeurs cubées.
Pourquoi la transformation cube est facile ici
- La fonction cube est monotone sur les entiers.
- Deux valeurs distinctes n’ont jamais le même cube.
- Il n’est pas nécessaire d’additionner des probabilités.
- Le tableau final se lit presque directement après transformation.
Erreurs fréquentes à éviter
- Confondre la loi de N³ avec le cube de la loi de N.
- Modifier les probabilités alors qu’il faut seulement transformer les valeurs.
- Oublier la valeur 0 si elle appartient au support de N.
- Négliger la vérification finale de la somme des probabilités.
Comparaison numérique: croissance de n, n² et n³
Pour comprendre intuitivement la loi de N³, il est utile d’observer la vitesse à laquelle la transformation cube grandit. Le tableau ci-dessous montre combien la transformation cubique amplifie les valeurs initiales.
| n | n | n² | n³ | Rapport n³ / n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 4 |
| 3 | 3 | 9 | 27 | 9 |
| 4 | 4 | 16 | 64 | 16 |
| 5 | 5 | 25 | 125 | 25 |
| 6 | 6 | 36 | 216 | 36 |
| 10 | 10 | 100 | 1000 | 100 |
Cette croissance explique pourquoi la représentation graphique de N³ est souvent beaucoup plus étalée que celle de N. Les probabilités restent identiques, mais les positions sur l’axe horizontal sont beaucoup plus espacées. C’est un aspect important en visualisation statistique, notamment si vous tracez un histogramme ou un diagramme en barres de la loi transformée.
Moments, espérance et interprétation
Quand on demande de calculer la loi de N³, il arrive aussi qu’on vous demande ensuite l’espérance de la variable transformée. Attention: en général, E(N³) n’est pas égal à [E(N)]³. Il faut utiliser la définition:
E(N³) = Σ n³ P(N = n)
C’est d’ailleurs l’un des intérêts majeurs de la transformation: elle met davantage de poids numérique sur les grandes valeurs de N, même si leurs probabilités sont faibles. Dans une loi asymétrique ou une loi avec queue plus lourde, cela peut faire augmenter très sensiblement l’espérance du cube.
Données comparatives sur des lois connues
Le tableau suivant illustre quelques résultats numériques concrets pour des lois courantes. Les valeurs sont calculées exactement ou à très haute précision, puis arrondies.
| Loi de N | Paramètres | E(N) | E(N³) | Observation |
|---|---|---|---|---|
| Uniforme discrète sur {1,…,6} | Dé équilibré | 3,5 | 73,5 | Le cube amplifie fortement les grandes issues. |
| Binomiale | n = 10, p = 0,5 | 5,0 | 162,5 | On a 5³ = 125, donc E(N³) est nettement plus élevé. |
| Poisson | λ = 4 | 4,0 | 100,0 | Pour une Poisson, E(N³) = λ³ + 3λ² + λ. |
Ces chiffres montrent bien un fait central: la transformation cubique ne modifie pas les probabilités élémentaires, mais elle modifie profondément les indicateurs numériques comme l’espérance, l’ordre de grandeur et l’étalement graphique des valeurs. C’est exactement ce que l’on cherche à comprendre lorsqu’on étudie une variable transformée.
Cas particuliers importants
Il existe plusieurs situations dans lesquelles les étudiants hésitent. Voici comment raisonner correctement.
- Si N peut être négatif: la fonction cube reste injective sur les entiers relatifs, donc la méthode reste la même.
- Si N est continue: on ne parle plus de table de probabilités mais de densité; la méthode devient différente.
- Si la transformation n’est pas injective: par exemple Y = N², il faut regrouper plusieurs valeurs de N pouvant produire la même valeur de Y.
- Si la loi est infinie: pour une loi de Poisson, on doit parfois tronquer le support pour un calcul numérique pratique, comme le fait le calculateur ci-dessus.
Pourquoi cet exercice est fondamental en probabilités
Calculer la loi de N³ est un excellent exercice pédagogique parce qu’il mobilise plusieurs compétences à la fois: compréhension de la loi d’une variable discrète, maîtrise des transformations de variables, construction d’un tableau de probabilités, interprétation graphique et calcul d’indicateurs comme l’espérance. C’est aussi un pont naturel vers les moments d’ordre 2, 3 et plus, qui jouent un rôle central dans l’étude de la dispersion, de l’asymétrie et de la forme des distributions.
Astuce d’examen: si la fonction de transformation est strictement croissante et définie sur le support discret de N, écrivez rapidement la correspondance “n ↦ n³”, puis recopiez les probabilités ligne par ligne. Vous gagnez du temps et réduisez fortement le risque d’erreur.
Validation des résultats et lecture du graphique
Une fois votre loi de Y = N³ obtenue, vérifiez trois points: la somme des probabilités vaut 1, les valeurs de Y sont correctement ordonnées, et le graphique est cohérent avec la loi choisie. Pour une loi uniforme, les barres ont la même hauteur mais sont irrégulièrement espacées sur l’axe des valeurs. Pour une loi binomiale ou Poisson, les hauteurs suivent la forme classique de la loi d’origine, mais transplantées sur les cubes des entiers.
Sources académiques et institutionnelles utiles
Pour approfondir les transformations de variables aléatoires, les moments et les lois discrètes, vous pouvez consulter ces références sérieuses:
- University of California, Berkeley – Random Variables
- NIST.gov – Engineering Statistics Handbook
- LibreTexts Educational Resource – Expected Value of Discrete Random Variables
Conclusion
En résumé, calculer la loi de N³ consiste à transformer chaque valeur possible de N en son cube, puis à conserver la probabilité correspondante. Dans le cas discret et injectif, la procédure est directe, élégante et très fiable. Si vous retenez la méthode tableau, les vérifications de base et l’idée que les probabilités restent attachées aux valeurs initiales transformées, vous maîtriserez sans difficulté la plupart des exercices sur les variables aléatoires transformées. Le calculateur ci-dessus vous permet de passer immédiatement de la théorie à la pratique, avec visualisation graphique à l’appui.